Функція називається неперервною, якщо вона неперервна в усіх точках. Ми говоримо, що межа f (x), коли x наближається до позитивної нескінченності, дорівнює L, і записуємо, якщо для будь-якого e > 0 існує N > 0 таке, що | f (x) – L | < e для всіх x > N (e).
Функція f(x) називається неперервною в точці x = a у своїй області визначення, якщо виконуються такі три умови: f(a) існує (тобто значення f(a) є кінцевим) Limx→a f(x) існує (тобто права межа = ліва межа, і обидва скінченні)
Підсумок: щоб функція була неперервною в точці, вона повинна бути визначена в цій точці, його межа повинна існувати в точці, і значення функції в цій точці має дорівнювати граничному значенню в цій точці. Розриви можна класифікувати як знімні, стрибкові або нескінченні.
(1) Якщо X — метричний простір, A — замкнута підмножина X, а / — неперервна функція від A до Y, то / можна розширити до неперервної функції від x до y. Назвемо топологічний простір Y, який має властивість (1), абсолютним екстензором для метричних просторів і нехай абсолютним екстензором для нормального (або паракомпактного тощо)
Функція називається розривною, якщо виконується будь-який із таких випадків: Ліва і права границі функції при x = a існують, але не рівні. Ліва та права межі функції при x = a існують і рівні, але не дорівнюють f(a). f(a) не визначено.