Скалярний добуток функцій визначається точно так само, як і для векторів, за допомогою множення значень в одній позиції разом і підсумовування. Але оскільки значень нескінченно багато, сума стає інтегралом: (2. 9)
Узагальнення скалярного добутку на довільний векторний простір називається «внутрішнім продуктом». Подібно до скалярного добутку, це певний спосіб поєднання двох векторів, щоб отримати число.
Внутрішні вироби дозволяють формально визначити інтуїтивно зрозумілі геометричні поняття, такі як довжини, кути та ортогональність (нульовий внутрішній добуток) векторів. Простори внутрішнього добутку узагальнюють евклідові векторні простори, у яких скалярний добуток є скалярним добутком або скалярним добутком декартових координат.
Скалярний добуток векторного простору V на F = C — це операція, яка асоціює з двома векторами x,y 2 V скаляр hx,yi 2 C, який задовольняє такі властивості: (i) він позитивно визначений: hx,xi 0 і hx,xi = 0 тоді і тільки тоді, коли x = 0, (ii) він є лінійним у другому аргументі: hx,y + zi = hx,yi + hx,zi та hx,cyi = chx, …
Внутрішній простір продукту є особливий тип векторного простору, який має механізм для обчислення версії «скаркового добутку» між векторами. Внутрішній добуток — це узагальнена версія скалярного добутку, яка може бути визначена в будь-якому дійсному або комплексному векторному просторі, якщо вона задовольняє декілька умов.
Внутрішній добуток двох векторів (звичайно, однакової довжини) просто задається формулою сума добутків координат з однаковим індексом. u1v1+u2v2+… +unvn=n∑i=1uivi . Крім того, два вектори називаються перпендикулярними, якщо їх скалярний добуток дорівнює нулю, тобто u⋅v=0 .