Власним вектором A є ненульовий вектор x, такий що Ax = αx для певного скаляра α. б) Скаляр α називається власним значенням A, якщо рівняння Ax = αx допускає нетривіальний розв’язок x; це x називається власним вектором, пов'язаним з α.
Для визначення його власних значень необхідно, згідно попередньої характеристики, шукаємо такі елементи , що det ( f − λ I d E ) = 0 . Для цього природно записати матрицю, пов’язану з канонічним базисом, і обчислити det (A − λ I 2), який дорівнює det (f − λ I d E) .
Ax = λx. Вектор x називається власним вектором A, асоційованим із власним значенням λ. Означення 7.2 Нехай V — K-векторний простір і F ∈ L(V,V). Скаляр λ ∈ K називається власним значенням F, якщо існує вектор v ∈ V, v 6= 0, такий, що f(v) = λv.
Якщо A є трикутною матрицею (нижньою трикутною, верхньою трикутною або навіть діагональною), власні значення A є його діагональними коефіцієнтами. Приклад 1: (Згідно з Écricome 2009) Надайте власні значення A := 1 1 1 0 2 2 0 0 3 . Розв'язання: А — верхній трикутник.
Нехай E — K-векторний простір, u — ендоморфізм E, а λ∈K λ ∈ K — власне значення u. Назвемо власний підпростір, асоційований з λ, підпростором Eλ={x∈E: u(x)=λx}=ker(u−λIdE).
Як знайти власні значення і вектори? Для будь-якої квадратної матриці A: Розв’язати |A – λI| = 0 для λ, щоб знайти власні значення . Вирішіть для (A – λI) v = 0 для v, щоб отримати відповідні власні вектори.