Повторюваність або рекурентне відношення визначає нескінченну послідовність, описуючи, як обчислити n-й елемент послідовності за значеннями менших елементів, наприклад: T(n) = T(n/2) + n, T(0) = T(1) = 1.
Щоб знайти рекурентне відношення послідовності:
- Знайдіть арифметичне або геометричне співвідношення, що зв’язує доданки.
- Запишіть рекурентне співвідношення з правильними записами.
- Наведіть один член послідовності, а також рекурентне співвідношення.
Формули повторення (15.18) ( 2 n + 1 ) x P n ( x ) = ( n + 1 ) P n + 1 ( x ) + n P n − 1 ( x ) , n = 1 , 2 , 3 , … . Рівняння (15.18) дозволяє нам генерувати послідовні Pn із початкових значень P0 і P1, які ми визначили раніше.
Для розв’язування рекурентних співвідношень такого типу слід скористатися головною теоремою. За цією теоремою це розширюється до T(n) = O(n log n) . Ця функція не викликає саму себе жодного разу та повторює O(n) разів. Тому його рекурентне відношення є T(n) = O(n) .
Якщо ви перепишете рекурентне відношення як , a n − a n − 1 = f ( n ) , а потім скласти всі різні рівняння з діапазоном від 1 до , ліва частина завжди дасть вам . Права частина буде ∑ k = 1 n f ( k ), тому нам потрібно знати замкнуту формулу для цієї суми.
П’ять для меншого нуля n дорівнює нулю, що дає нам помножене на два в нульовому ступені. Плюс b, помножене на мінус одиницю в степені нуля, дорівнює. Три спрощення маємо рівняння. A плюс b дорівнює.
У цьому розділі ми зосереджуємося виключно на рекурсивних алгоритмах. Обговорюються три методи вирішення рекурентного рівняння: (i) Метод заміни (ii) Метод дерева рекурсії та Основний метод.