Передбачається, що випадкова змінна X відповідає від’ємному біноміальному розподілу, якщо її функція маси ймовірності визначається як: f(x) = (n + r – 1)C(r – 1) Prx. Тут ми розглядаємо біноміальну послідовність випробувань з ймовірністю успіху як p і ймовірністю невдачі як q.
Середнє від’ємного біноміального розподілу з параметрами r і p є rq / p, де q = 1 – p. Дисперсія дорівнює rq / p2. Найпростішою мотивацією для негативного бінома є випадок послідовних випадкових випробувань, кожне з яких має постійну ймовірність P успіху.
Твердження: (Біноміальна теорема для від’ємних цілих чисел) (1+x)n=1+nx+n(n−1)2! х2+… +n(n−1)(n−2)… (n−r+1)r!
Очікування. Для від’ємного біноміального розподілу очікувана кількість успіхів із параметрами (k,p) дорівнює k p/(1-p). У ньому середня кількість успіхів для експерименту становить N/n − k= k/(1 − p) – k = k p/(1 − p).
Формула біноміального розподілу для будь-якої випадкової величини X визначається як; P(x:n,p) = nCx x px (1-p)n-x Або P(x:n,p) = nCx x px (q)n-x, де n – кількість експериментів, p – ймовірність успіху в одному експерименті, q – ймовірність невдачі в одному експерименті (= 1 – p) і приймає значення 0, 1, 2, 3, 4, …
Передбачається, що випадкова змінна X відповідає від’ємному біноміальному розподілу, якщо її функція ймовірної маси визначається як: f(x) = (n + r – 1)C(r – 1) Prx. Тут ми розглядаємо біноміальну послідовність випробувань з ймовірністю успіху як p і ймовірністю невдачі як q.